Brakujące punkty na krzywej BMP: kiedy interpolacja jest uczciwa, a kiedy nie

Brakujące punkty na krzywej BMP można uzupełnić interpolacją tylko w obrębie zmierzonego zakresu i tylko jako wartości szacowane: interpolacja nie tworzy nowych pomiarów, nie zmienia końcowego wyniku BMP, jeśli po luce wykonano kolejny odczyt, i nie pozwala „dopisywać” dni po ostatnim pomiarze. Luki zdarzają się w praktyce często: weekend, awaria czujnika, zerwana próbka gazu, przerwa w odczytach manometrycznych. Poniżej pokazujemy, jak postępować rzetelnie.

Co właściwie mierzymy

W teście BMP laboratorium rejestruje w kolejnych terminach ilość metanu z poszczególnych butelek: z substratem, z próby ślepej i z kontroli celulozowej. Wynik netto to różnica między serią z substratem a średnią ze ślepych, przeliczona na gram suchej masy organicznej (VS). Protokół opisujemy w wpisie Protokół testu BMP krok po kroku, a sposób obliczeń — w Obliczanie produkcji metanu w teście BMP (Hafner 2020). Ważne: krzywa skumulowana pojedynczej butelki to suma wszystkich przyrostów od początku testu, więc nie maleje.

Dlaczego luka nie zmienia końcowego wyniku

Jeśli odczyt po luce jest poprawny, zawiera on wszystko, co powstało od poprzedniego odczytu. Nie znamy tylko rozkładu produkcji w czasie wewnątrz luki, natomiast suma jest znana. Interpolacja rozkłada tę sumę na brakujące dni, więc ma znaczenie dla kształtu krzywej (np. dopasowania modelu kinetycznego), ale nie dla końcowego BMP. Zupełnie inaczej jest, gdy brakuje ostatnich pomiarów: wtedy nie wiadomo, czy produkcja się zakończyła, a wynik trzeba uznać za niepełny.

Co interpolować i jaką metodą

1. Interpoluj krzywą skumulowaną, nie dobowe przyrosty. Przyrosty dobowe zmieniają się z dnia na dzień, a po wygładzeniu ich suma mogłaby przestać się zgadzać z pomiarem.
2. Wybierz metodę zachowującą monotoniczność. Interpolacja liniowa jest najprostsza i przejrzysta, ale krzywa jest zwykle wklęsła (tempo maleje), więc cięciwa leży poniżej rzeczywistej krzywej. Splajn sześcienny może „przestrzelić” i wytworzyć wartości malejące, czego fizycznie nie ma; w takich przypadkach stosuje się warianty monotoniczne (np. PCHIP).
3. Przybliż niepewność. Błąd rośnie z długością luki i z krzywizną krzywej: w fazie szybkiej produkcji (pierwsze dni) jest większy niż w fazie plateau.
4. Nie używaj punktów interpolowanych do kryterium końca testu. Kryterium z literatury (produkcja dobowa metanu poniżej 1% skumulowanego przyrostu netto przez 3 doby) opiera się na faktycznych odczytach; Hafner i in. (2020) zalecają je wśród kryteriów walidacji. Przy odczytach rzadszych niż codzienne ocenia się tempo między faktycznymi odczytami. Szczegóły: Kryteria walidacji testu BMP wg Holliger i in. (2016).

Przykład ilustracyjny

Poniższe liczby są hipotetyczne i służą tylko do pokazania mechanizmu. Załóżmy, że odczyty skumulowanego metanu netto (NmL CH₄/g VS) wyniosły: doba 0 — 0; doba 1 — 40; doba 2 — 85; doba 3 — 125; doba 6 — 205; doba 7 — 225. Brakuje odczytów w dobach 4 i 5. Interpolacja liniowa daje przyrost (205 − 125) / 3 ≈ 26,7 NmL/g VS na dobę, czyli ok. 152 w dobie 4 i ok. 178 w dobie 5. Ponieważ krzywa jest wklęsła, rzeczywiste wartości były prawdopodobnie nieco wyższe, a różnica może sięgać kilku NmL/g VS; to dlatego punkty 152 i 178 trzeba oznaczyć jako szacowane. Wynik w dobie 6 (205) i dalsze odczyty pozostają bez zmian.

Ekstrapolacja: czego nie robić

Ekstrapolacja poza zakres badania wymaga silniejszych założeń niż interpolacja, bo model musi przewidzieć zachowanie, którego nie zmierzono. Nie należy dopisywać uzysku końcowego tylko po to, by wszystkie krzywe miały jednakową długość. Jeśli jedna seria kończy się wcześniej, to albo skracamy porównanie do wspólnego zakresu, albo opisujemy, że seria została przerwana. Dopasowanie modelu (pierwszego rzędu lub Gompertza) pozwala oszacować plateau, ale jest to wynik modelowy, nie pomiar — zob. Kinetyka pierwszego rzędu w teście BMP i Model Gompertza w krzywych BMP. W bazie BMP Substraty.pl krzywa rekordu jest oznaczana jako zmierzona (punkty pomiarowe) albo modelowa (krzywa z parametrem k).

Średnia z kilku serii

Gdy powtórzenia mierzono w różnych terminach, średnią liczy się na uzgodnionej siatce czasu: albo tylko w dobach, w których zmierzono wszystkie serie, albo po interpolacji każdej serii na wspólną siatkę, z jawnie opisaną zasadą dla braków. Odchylenie standardowe w punktach interpolowanych nie jest niezależnym pomiarem i niedoszacowuje rzeczywistej niepewności. Dane źródłowe powinny pozostać dostępne obok przeliczeń.

Lista kontrolna

• Czy w raporcie rozróżniono punkty zmierzone od szacowanych?
• Czy interpolowano krzywą skumulowaną metodą zachowującą monotoniczność?
• Czy brakuje ostatnich odczytów? Jeśli tak, wynik jest niepełny.
• Czy kryterium końca testu oceniono na faktycznych odczytach?
• Czy dane surowe zostały zachowane? Hafner i in. (2020) wskazali, że błędy przetwarzania i wprowadzania danych należały do ważnych źródeł rozrzutu między laboratoriami.

Pełną listę pytań do raportu znajdziesz w wpisie Jak czytać raport z badania BMP.